δxx"2π1∫∞∞eixx"d2π1∫∞∞1eixx"d
卷積和內積
在回到格林函數之前，我上麵提到，我們的類比到正常乘法的限製是缺乏明確定義的逆。我們可以通過卷積最常見的應用“移動平均”或低通濾波器來了解這一點。
例如，讓我們拿一張圖片並與高斯函數進行卷積。
使用高斯卷積對金毛犬進行低通濾波
對圖像進行二維卷積通常會使其明顯模糊。消除一些模糊並非不可能反卷積是圖像處理中的一個老話題，在實踐中，卷積的濾波效果將高分辨率信息映射為零。在線性代數的語言中，存在非平凡的零空間，所以這個運算是不可逆的。
雖然它不是數字正常乘積的完美類比，但卷積確實符合向量內積的所有條件。在不將這變成一整套線性代數課程的情況下，內積是我們三維空間中常規向量點積的概括。
方程14:
是的，內積（nerproduct）是三維空間中常規向量點積（dotproduct）的一種概括。在數學中，內積是一個定義在向量空間上的函數，它賦予兩個向量一個標量值，並且滿足一定的性質。在三維歐幾裡得空間中，內積通常指的是點積，但在更一般的向量空間中，內積的概念被擴展以適應不同的幾何和代數結構。
三維空間中的點積定義如下給定兩個向量a[a1,a2,a3]和b[b1,b2,b3]，它們的點積（記作a·b）定義為
a·ba1b1+a2b2+a3b3
點積有以下性質
交換律a·bb·a
分配律a·b+ca·b+a·c
結合律ka·ba·kbka·b，其中k是標量
正定性a·a≥0，且a·a0當且僅當a0
在更一般的向量空間中，內積的定義需要滿足以下公理
對稱性?a,b??b,a?
線性性?ka,b?k?a,b?和?a+b,c??a,c?+?b,c?
正定性?a,a?≥0，且?a,a?0當且僅當a0
在不同的向量空間中，內積的具體表達式可能會有所不同，但它總是保留了這些基本的代數和幾何性質。例如，在複數向量空間中，內積可能包含共軛操作；在無窮維函數空間中，內積可能是兩個函數的積分乘積。
總之，內積是點積的概括，它不僅適用於三維歐幾裡得空間，還適用於更廣泛的數學和物理問題中。內積的概念在泛函分析、量子力學、信號處理等領域都有重要應用。
在向量空間中，向量的模（或長度、範數）是指向量的大小或絕對值。對於具有內積的向量空間，模可以通過內積來定義。在三維歐幾裡得空間中，向量的模通常是指向量的長度，可以通過點積來計算。
對於一個三維向量v[v1,v2,v3]，其模（記作||v||）可以通過以下公式計算
||v||√v12+v22+v32
這個公式實際上是利用了點積的性質，特彆是向量與其自身的點積等於其模的平方
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v·vv12+v22+v32||v||2
因此，我們可以通過取平方根來得到模。
在更一般的內積空間中，向量的模可以通過內積來定義。給定向量v，其模定義為
||v||√?v,v?
這裡，?v,v?表示向量v與其自身的內積。這個定義保證了模是非負的實數，並且當且僅當向量為零向量時，模等於零。
模的概念在數學和物理學中非常重要，因為它與向量的幾何屬性密切相關，比如距離、大小和方向。在物理學中，向量的模經常用來表示物理量的大小，例如力的大小、速度的大小等。在數學中，模的概念也被推廣到了更一般的抽象空間，如賦範空間和巴拿赫空間，成為分析和幾何中的基本概念之一。
?在普通的（3d）空間中，向量隻是箭頭。它們指向一個方向並具有長度，我們稱之為大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。
內積隻是一個規則，或一個映射，用來將兩個向量映射到一個數字。通過方程14，規則是取每個方向（x，y，z）的分量，將這些分量相乘並求和。
現在將其與方程12中卷積的定義比較，我們可以看到卷積所做的事情相同，隻是使用的是函數我們在每個點乘以兩個函數並求和。更一般地，我們定義函數f和h之間的內積
方程15:
在函數空間中，兩個函數fx和hx之間的內積通常定義為一個積分，這個積分依賴於具體的內積空間和所考慮的函數類型。在許多情況下，特彆是在實數域上的函數空間，內積可以定義為兩個函數的乘積在某個區間上的積分，再加上可能的權重函數。
一個典型的例子是在實數域上的l2空間，其中函數fx和hx的內積定義為
?f,h?∫[a,b]fxhxdx
這裡，a和b是積分的上下限，dx表示對x的微分，積分區間[a,b]是定義內積的區間。這個內積滿足內積空間的公理，包括對稱性、線性性和正定性。
如果考慮的是帶有權重x的函數空間，那麼內積的定義會包含這個權重函數
?f,h?∫[a,b]fxhxxdx
權重函數x可以是任何非負的可積函數，它在積分中起到調整不同部分重要性的作用。例如，在概率論中，權重函數可能代表概率密度函數，而在其他應用中，它可能有不同的解釋。
需要注意的是，內積的定義不是唯一的，它可以依賴於特定的應用和所考慮的函數空間。在某些情況下，內積可能還包括複共軛，尤其是在處理複數域上的函數空間時。例如，在複數域上的l2空間，內積定義為
?f,h?∫[a,b]fxnjhxdx
這裡，njhx表示hx的複共軛。
總結來說，函數f和h之間的內積通常通過積分來定義，具體形式取決於所考慮的函數空間和應用背景。在實數或複數域上，內積可能包括函數乘積的積分，有時還會加上權重函數或複共軛。若是區間在[∞,∞]之間，則
卷積實際上隻是函數向量空間中的內積，其中一個函數按我們選擇的量進行了移位。或者你可以這樣說，卷積代表了與一些函數集相關的一組內積，這些函數通過移位函數參數聯係起來。
現在在普通的3d空間中，我們可以將任何向量表示為三個單位向量（每個方向長度為1的向量）的和，其中每個方向是一個維度。我們說這些向量跨越了整個向量空間，這意味著我們可以寫出任何向量
方程16:
vvxx+vyy+vzz
x帽是x方向的單位向量。其他方向也是如此。
我們可以將分量vx,vy,vz定義為與單位向量進行點積的結果
＜xv＞xvvx
那麼函數的“分量”的等價物是什麼呢？查看方程15中內積的定義，這個分量就是fx或者函數在x點的值。
這就是函數向量空間和普通三維空間的巨大區彆。如果我們考慮的是為所有實數x定義的函數，這意味著向量或函數，有無窮多個分量。換句話說，函數向量空間有無限維。
這確實引入了一些複雜性（例如，隨著x＞無限大，內積15可能會增長到無限大），我們現在將忽略這些細節，假設函數都表現良好。
有了這種對fx的理解，讓我們重新寫篩選性質
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方程17:
fx∫fxδxx"dx"∫δxx"fxdx"
認識到積分是內積，這與下式相同
方程18:
fx＜δx，f＞
其中我使用δx作為位置x的delta函數的簡寫。
由於fx類似於在位置x的f的“分量”，與位於x處的delta函數取內積類似於與單位向量取點積。或者換句話說，delta函數就像函數向量空間中的單位向量，挑選出位置x處的值或分量，就像3d空間中的普通點積一樣。
所以讓我們回顧一下。我們介紹了關於delta函數的兩種思考方式
?它在函數卷積中扮演恒等角色，或乘以1的角色。換句話說，delta函數有點像1。
?在考慮函數的向量空間時，函數扮演著“單位向量”的角色。將“點積”與δxx"相乘，得到向量在位置x處的分量，也就是函數在x處的值，或者fx。
最後一件事到目前為止關於內積的討論是關於實值向量的。擴展到複值空間很簡單，隻需要對第一個參數取複共軛。就比如狹義相對論中的洛倫茲變換？
對於實變量上的函數
方程19:＜f,h＞∫±∞fxhxdx
這可能是一個次要點，但在開始思考量子力學中的格林函數時很重要。
回到格林函數
思考格林函數的一個提示
有了對δ函數的理解，讓我們回到格林函數的問題（方程6）。
l?gx,x"δxx"
或者如果算子是自伴隨的
lgx,x"δxx"
如果δ函數類似於1或恒等函數，那麼格林函數似乎類似於線性算子l的逆。
為了更清楚地看到這一點，讓我們回到原始問題，
xfx
如果格林函數類似於l的逆，如果乘以g，即與格林函數取內積，則可以“撤銷”l的作用並求解u。
方程101novel.com:
＜g,＞＜g,f＞
根據伴隨的定義（方程7），我們可以將l作用於u替換為l的伴隨作用於g。根據格林函數的定義，這與δ函數相同。
方程21:
＜g,＞＜l?g,u＞δx,uux
對於右手邊
方程22:ux＜g,f＞∫gx,x"fx"dx
就是這樣。如果格林函數g，我們通過與源函數f取積分來求解u，類似於用l的逆乘以f。
方程23:
g∽l1
需要明確的是，像與普通乘法的卷積一樣，這並不是一個完美的等價。l甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函數。這更多是一種關於g的“操作性”思考方式。
你應該開始看到格林函數的威力了。如果我們直接解原始問題，我們隻需要解一個特定的源函數。對於格林函數，我們可以求解任意選擇的源，但是要“反轉”算子l。
關於格林函數的一個重要細節是它們總是至少有兩個參數的函數，我們稱其為x和x"gx,x"格林函數似乎是一種將x"處的源和x處的解聯係起來的方法，我們在x處求解u的值。
看看方程22的右手邊，你可以看到積分接近卷積的形式。如果gx,x′gx–x′，它將是精確的。事實證明，如果線性算子l具有平移對稱性，通常會出現這種情況。例如，當算子是常數係數的導數之和時，如拉普拉斯算子。在這些情況下，確實有一個完全的卷積。
方程24:
ux∫gxx"fx"dxgf
引入物理
舊電壓表
我們可以用數學的方式來考慮格林函數作為算子的逆函數，當我們在求內積時，把函數看成是1。但我們如何從物理上理解格林函數呢?
說明這一點的最簡單方式是用一個例子。讓我們為泊鬆方程求解格林函數（上述方程3）。回想一下，我們試圖找到電勢（電壓），給定空間中的某些電荷分布，後者我們用電荷密度pr表示。
泊鬆方程:
▽2vre01pr
其中?0是一個常數，稱為自由空間的電容率。
這是一個“靜電”問題。我們假設電荷不動。沒有電流存在，否則除了電勢，我們還需要考慮磁勢來完全解出這個方程組。
雖然這是一個簡化，但這仍然是一個非常困難的問題，所以找到格林函數是值得的。不僅如此，這實際上是一個物理電荷分布。如果我們考慮一個電子，它隻是一個帶電荷的點。它的密度是
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方程25電子的電荷密度:
preδr
相比之下，質子是一個複合粒子。我們可以使用量子力學為其指定一個有效的“大小”，但幾乎在所有實際應用中，它同樣隻是一個帶有正電荷+e的點，具有相同的δ函數電荷密度。
同樣的考慮可以應用於大多數實際尺度的整個原子，例如，耳機或麥克風中的釹離子具有近似的電荷密度
釹離子（nd+3）的電荷密度。
pr+3eδr
因為釹喜歡失去3個電子。
這告訴我們的是，泊鬆方程的格林函數是點電荷的電勢，模取常數。
由於任意電荷分布按定義是點電荷的總和，且因為泊鬆方程是線性的，因此電勢是具有權重因子pr的格林函數的總和。
這就是我們對函數的數學理解作為一種“單位向量”的由來。一般來說，求解格林函數類似於將源fx分解成一堆點源，求解任意位置的源，然後求和。
那麼解呢？實際上有一個巧妙的方法可以使用傅裡葉變換求解泊鬆方程的格林函數，但這篇文章已經太長了，所以我隻引用答案。
對於格林函數我們有
方程26泊鬆方程的格林函數
gr,r"｛4π1｝｛?rr"?1｝
給定pr的完整解為
方程27:
vr｛4πe01｝∫｛pr"｝｛?rr"?1｝dx
總結
回顧一下，這篇關於格林函數的文章的兩個主要信息。
1從數學上講，格林函數像對應線性算子的逆一樣，因為通過與取內積，我們求解了u
2在物理上，我們可以把格林函數解釋為一個點源的解，我們可以把它們加起來形成任意源的解。我們通過分析泊鬆方程的格林函數來說明這一點，但它也適用於光學中的亥姆霍茲方程，其中格林函數是光的點發射器的電場。
唯一我必須提到的細節是邊界條件，我根本沒有討論過。以上都是關於無限空間中的格林函數，即邊界在無限遠處，我們所有的解都是零。當然，我們可以有特定的邊界條件，這些條件將改變格林函數。
小學沒畢業，學習好費腦，為了體驗一下那些所謂的學霸君的樂趣，我寧願殺雞宰羊。
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