屋子裡，徐雲正在侃侃而談：
“艾薩克先生，韓立爵士計算發現，二項式定理中指數為分數時，可以用ex=1+x+x22!+x33!+……+xnn!+……來計算。”
說著徐雲拿起筆，在紙上寫下了一行字：
當n=0時，ex＞1。
“艾薩克先生，這裡是從x0開始的，用0作為起點討論比較方便，您可以理解吧？”
小牛點了點頭，示意自己明白。
隨後徐雲繼續寫道：
假設當n=k時結論成立，即ex＞1+x1!+x22!+x33!+……+xkk!x＞0）
則ex[1+x1!+x22!+x33!+……+xkk!]＞0
那麼當n=k+1時，令函數f(k+1)=ex[1+x1!+x22!+x33!+……+x(k+1)(k+1)]!x＞0）
接著徐雲在f(k+1)上畫了個圈，問道：
“艾薩克先生，您對導數有了解麼？”
小牛繼續點了點頭，言簡意賅的蹦出兩個字：
“了解。”
學過數學的朋友應該都知道。
導數和積分是微積分最重要的組成部分，而導數又是微分積分的基礎。
眼下已經時值1665年末，小牛對於導數的認知其實已經到了一個比較深奧的地步了。
在求導方麵，小牛的介入點是瞬時速度。
速度=路程x時間，這是小學生都知道的公式，但瞬時速度怎麼辦?
比如說知道路程s=t2，那麼t=2的時候，瞬時速度v是多少呢?
數學家的思維，就是將沒學過的問題轉化成學過的問題。
於是牛頓想了一個很聰明的辦法：
取一個”很短”的時間段△t，先算算t=2到t=2+△t這個時間段內，平均速度是多少。
v=st=4△t+△t2）△t=4+△t。
當△t越來越小，2+△t就越來越接近2，時間段就越來越窄。
△t越來越接近0時，那麼平均速度就越來越接近瞬時速度。
如果△t小到了0，平均速度4+△t就變成了瞬時速度4。
當然了。
後來貝克萊發現了這個方法的一些邏輯問題，也就是△t到底是不是0。
如果是0，那麼計算速度的時候怎麼能用△t做分母呢？鮮為人...咳咳，小學生也知道0不能做除數。
到如果不是0，4+△t就永遠變不成4，平均速度永遠變不成瞬時速度。
△t→0是否等價於△t=0。
這個問題的本質實際上是在對初生微積分的一種拷問，用“無限細分”這種運動、模糊的詞語來定義精準的數學，真的合適嗎？
貝克萊由此引發的一係列討論，便是赫赫有名的第二次數學危機。
甚至有些悲觀黨宣稱數理大廈要坍塌了，我們的世界都是虛假的——然後這些貨真的就跳樓了，在奧地利還留有他們的遺像，也不知道是用來被人瞻仰還是鞭屍的。
這件事一直到要柯西和魏爾斯特拉斯兩人的出現，才會徹底有了解釋與定論，並且真正定義了後世很多同學掛的那棵樹。
但那是後來的事情，在小牛的這個年代，新生數學的實用性是放在首位的，因此嚴格化就相對被忽略了。
這個時代的很多人都是一邊利用數學工具做研究，一邊用得出來的結果對工具進行改良優化。
偶爾還會出現一些倒黴蛋算著算著，忽然發現自己這輩子的研究其實錯了的情況。
總而言之。
在如今這個時間點，小牛對於求導還是比較熟悉的，隻不過還沒有歸納出係統的理論而已。
徐雲見狀又寫到：
對f(k+1)求導，可得f(k+1)"=ex1+x1!+x22!+x33!+……+xkk!
由假設知f(k+1)"＞0
那麼當x=0時。
f(k+1)=e0101!02!.0k+1!=11=0
所以當x＞0時。
因為導數大於0，所以f(x)＞f(0)=0
所以當n=k+1時f(k+1)=ex[1+x1!+x22!+x33!+……+x(k+1)(k+1)]!x＞0）成立！
最後徐雲寫到：